哈夫曼树及求哈夫曼编码

一、哈夫曼树的概念

先来理解几个概念：

路径：树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。

路径长度：路径上的分支数目称作路径长度。

树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。、

结点的带权路径长度：从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

通常记作：

 

公式中，Wk为第k个叶子结点的权值；Lk为该结点的路径长度。

例：有4个结点，权值分别为7,5,2,4,构造有4个叶子结点的二叉树。

image

其中WPL为35的树为最小，可以验证他恰为哈夫曼树，即其带权路径长度在所有带权为7、5、2、4的4个叶子结点的二叉树中局最小。

 

二、哈夫曼树的构造

根据哈弗曼树的定义，一棵二叉树要使其WPL值最小，必须使权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点

越远离根结点。

哈弗曼依据这一特点提出了一种构造最优二叉树的方法，其基本思想如下：

①：根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成n棵二叉树的集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti只有一个带权为wi的根结点，其左右子树均空。

②：在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根节点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。

③：在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F中。

④：重复②和③，直到F只含一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树。

 

下面演示哈夫曼树的构造过程：

三、哈夫曼树的应用

在电文传输中，需要将电文中出现的每个字符进行二进制编码。在设计编码时需要遵守两个原则：

（1）发送方传输的二进制编码，到接收方解码后必须具有唯一性，即解码结果与发送方发送的电文完全一样；

（2）发送的二进制编码尽可能地短。下面我们介绍两种编码的方式。

1. 等长编码

            这种编码方式的特点是每个字符的编码长度相同（编码长度就是每个编码所含的二进制位数）。假设字符集只含有4个字符A，B，C，D，用二进制两位表示的编码分别为00，01，10，11。若现在有一段电文为：ABACCDA，则应发送二进制序列：00010010101100，总长度为14位。当接收方接收到这段电文后，将按两位一段进行译码。这种编码的特点是译码简单且具有唯一性，但编码长度并不是最短的。

2. 不等长编码

            在传送电文时，为了使其二进制位数尽可能地少，可以将每个字符的编码设计为不等长的，使用频度较高的字符分配一个相对比较短的编码，使用频度较低的字符分配一个比较长的编码。例如，可以为A，B，C，D四个字符分别分配0，00，1，01，并可将上述电文用二进制序列：000011010发送，其长度只有9个二进制位，但随之带来了一个问题，接收方接到这段电文后无法进行译码，因为无法断定前面4个0是4个A，1个B、2个A，还是2个B，即译码不唯一，因此这种编码方法不可使用。

因此，为了设计长短不等的编码，以便减少电文的总长，还必须考虑编码的唯一性，即在建立不等长编码时必须使任何一个字符的编码都不是另一个字符的前缀，这宗编码称为前缀编码（prefix  code）

（1）利用字符集中每个字符的使用频率作为权值构造一个哈夫曼树；

（2）从根结点开始，为到每个叶子结点路径上的左分支赋予0，右分支赋予1，并从根到叶子方向形成该叶子结点的编码。

 

例：

假设一个文本文件TFile中只包含6个字符{a，b，c，d，e，f}，这6个字符在文本中出现的次数为{9，12，6，3，5，15}

利用哈夫曼树可以为文件TFile构造出符合前缀编码要求的不等长编码。

先以字符出现的次数构建哈弗曼树：

image

a 的编码为：00

b 的编码为：01

c 的编码为：100

d 的编码为：1010

e 的编码为：1011

f 的编码为：11

 

然后从根节点到叶子结点的路径上分支字符组成的字符串作为该叶子结点字符的编码，由此得到的编码也叫哈弗曼编码。

 

四、构建哈夫曼树的代码实现

 

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define N 10         // 带编码字符的个数，即树中叶结点的最大个数
#define M (2*N-1)    // 树中总的结点数目

class HTNode{        // 树中结点的结构
public:
    unsigned int weight;
    unsigned int parent,lchild,rchild;
};                    

class HTCode{
public:
    char data;      // 待编码的字符
    int weight;     // 字符的权值
    char code[N];   // 字符的编码
};

void Init(HTCode hc[], int *n){
// 初始化，读入待编码字符的个数n，从键盘输入n个字符和n个权值
    int i;
    printf("input n = ");
    scanf("%d",&(*n));

    printf("\ninput %d character\n",*n);
   
    fflush(stdin);
    for(i=1; i<=*n; ++i)
        scanf("%c",&hc[i].data);

    printf("\ninput %d weight\n",*n);
   
    for(i=1; i<=*n; ++i)
        scanf("%d",&(hc[i].weight) );
    fflush(stdin);
}//

void Select(HTNode ht[], int k, int *s1, int *s2){
// ht[1...k]中选择parent为0，并且weight最小的两个结点，其序号由指针变量s1，s2指示
    int i;
    for(i=1; i<=k && ht[i].parent != 0; ++i){
        ; ;
    }
    *s1 = i;

    for(i=1; i<=k; ++i){
        if(ht[i].parent==0 && ht[i].weight<ht[*s1].weight)
            *s1 = i;
    }

    for(i=1; i<=k; ++i){
        if(ht[i].parent==0 && i!=*s1)
            break;
    }
    *s2 = i;

    for(i=1; i<=k; ++i){
        if(ht[i].parent==0 && i!=*s1 && ht[i].weight<ht[*s2].weight)
            *s2 = i;
    }
}

void HuffmanCoding(HTNode ht[],HTCode hc[],int n){
// 构造Huffman树ht，并求出n个字符的编码
    char cd[N];
    int i,m,c,f,s1,s2,start;
    m = 2*n-1;
   
    for(i=1; i<=m; ++i){
        if(i <= n)
            ht[i].weight = hc[i].weight;
        else
            ht[i].parent = 0;
        ht[i].parent = ht[i].lchild = ht[i].rchild = 0;
    }

    for(i=n+1; i<=m; ++i){
        Select(ht, i-1, &s1, &s2);
        ht[s1].parent = i;
        ht[s2].parent = i;
        ht[i].lchild = s1;
        ht[i].rchild = s2;
        ht[i].weight = ht[s1].weight+ht[s2].weight;
    }

    cd[n-1] = '\0';

    for(i=1; i<=n; ++i){
        start = n-1;
        for(c=i,f=ht[i].parent; f; c=f,f=ht[f].parent){
            if(ht[f].lchild == c)
                cd[--start] = '0';
            else
                cd[--start] = '1';
        }
        strcpy(hc[i].code, &cd[start]);
    }
}


int main()
{
    int i,n;
    HTNode ht[M+1];
    HTCode hc[N+1];
    Init(hc, &n);     // 初始化
    HuffmanCoding(ht,hc,n);   // 构造Huffman树，并形成字符的编码

    for(i=1; i<=n; ++i)  
        printf("\n%c---%s",hc[i].data,hc[i].code);  
    printf("\n");

    return 0;
}

 

运行结果：

image

 

By：AloneMonkey

本文链接：http://www.alonemonkey.com/huffman-tree-huffman-code.html